CONCEPTOS

  Derivada

 función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Sus creadores Newton y Leibniz con diferentes objetivos de investigación y aplicación

 FACTORIZACIÓN:

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

MULTIPLICACION

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos 3x5=15. En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos 15=3x5

Al factorizar el número 20, tendremos 20=4x5 o 20=2x10.

Advierte que 20=4x5 y 20=2x10 no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera factorización 4=(2x2) , de modo que 20=(2x2)x5 mientras que la segunda factorización 10=(2x5) , de modo que 20=(2x5)x2 , en cualquier caso la factorización completa para 20 es 2x2x5.

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera no factorizamos 20 como:

Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas.

Consiste en aplicar la propiedad distributiva:

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Ejemplos

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces

1. x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = −1

2. 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3. x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x = a y x = b.

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces

1. x2 − 4 = (x + 2) · (x − 2)

Las raíces son x = −2 y x = 2

2. x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) =

= (x + 2) · (x − 2) · (x2 + 4)

Las raíces son x = −2 y x = 2

RACIONALIZACION DE RADICALES

 Racionalización del tipo 

Se multiplica el numerador y el denominador por .

Ejemplos:

1 

2  

2 Racionalización del tipo 

Se multiplica numerador y denominador por .

     

Ejemplos:

3 Racionalización del tipo 

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

     

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

     

Ejemplos:

1 

2 

3 

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

                                          

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función.Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida.(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

                                             

LEYES DE LOS RADICALES

 La radicación es la operación inversa de la potenciación y permite hallar la base correspondiente conociendo las potencias y el exponente.

El radicando también recibe el nombre de subradical.

LEYES DE RADICACIÓN 

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

El exponente fraccionario y las leyes de radicales se utilizan para hacer algunos cambios en los radicales, como son:

·         Sacar  factores del radical.

·         Introducir un factor al radical.

·         Racionalización de denominadores.

·         Expresar un radical como otro de orden (índice) menor.

Obtener factores del radical

Para simplificar un radical, se descompone o factoriza el radicando en factores cuyos exponentes sean múltiplos del índice. Las raíces de estos factores se escriben fuera del radical y los factores “sobrantes” forman el nuevo radicando.

Es decir, simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión, para esto sacamos del radical los factores que sea posible, racionalizamos y expresamos el radical como otro de índice menor.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES 

Radicales semejantes

Son aquellos radicales que tienen el mismo índice de la raíz y el mismo radicando, sólo difieren en el signo y el coeficiente

Para efectuar operaciones de suma y resta algebraica de radicales, previamente los radicales deben simplificarse. La suma algebraica de radicales semejantes es un radical del mismo grado, cuyo coeficiente resulta de suma algebraica de los coeficientes numéricos.

En los siguientes ejemplos, se muestra la suma de radicales semejante:

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES 

 Cuando se tienen radicales del mismo índice,  se utiliza la ley de los radicales:

Ejemplos:

 Cuando se tienen radicales de distinto índice:

 Los radicales se reducen al mínimo común índice y se multiplican como en el caso descrito anteriormente.

 La reducción de los radicales al mínimo común índice requiere obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los índices, que será el índice común; posteriormente, se eleva la cantidad del subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice del subradical.

 Para multiplicar un radical por una expresión que contiene más de un término o dos expresiones radicales, cada una con más de un término, se aplica la metodología o proceso empleado en la multiplicación de polinomios.

 

 

DIVISIÓN DE RADICALES 

Cuando se tienen radicales del mismo índice,  se utiliza la ley de los radicales:

Cuando se tienen radicales de diferente índice:   Se expresan los radicales en forma exponencial, y posteriormente se aplican las propiedades de los exponentes.

RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR 

 

 

 

Las operaciones con fracciones que contienen un radical en el denominador se facilitan si antes de trabajar con ellas se racionaliza el denominador.

Racionalizar el denominador

Es un procedimiento que consiste en   transformar una fracción que      contiene un radical en el denominador en otra fracción equivalente que no contenga ningún radical     en el denominador.

LEYES DE LOS EXPONENTES

A la operacion matematica que representa, en forma abreviada, la multiplicacion de factores iguales se le llama potenciacion.

La potenciacion, como expresion algebraica, la conforman los siguientes elementos:

a = base

m = exponente

b = potencia

Asi se tiene que:

Con base en esta definicion es posible entender las leyes de los exponentes.

Primera ley: Producto de potencias con la misma base.

Ejemplo:

a� � a�

Por la definicion de potencia se tiene:

donde a aparece 5 veces como factor, por lo tanto:

a� � a� = a�+�

= 

Al generalizar se afirma que:

El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

Los productos notables

Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre 2 o mas polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares, y cumplen ciertas reglas fijas. Su resultado puede ser escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación o no verificar con la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.

Términos:
*Monomio: 1 término ; ej: 2x , 4xyw.
*Binomio: 2 términos ; ej: x+y , 7xy-1.
*Trinomio: 3 términos ; ej: x+y+z , 2x+5y+3z.
*Polinomio: 4 términos o más ; ej: 3+y+z+w , xy+xz+xw-9y.

Algunas expresiones de productos notables son:

• Cuadrado del binomio:El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidas más el doble de la primera cantidas por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplo:
También el cuadrado del binomio se presenta en cuadrado de su diferencia lo que cambiara sera solo el signo de suma por el de resta.
Ejemplo:

• Cubo del binomio: El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el cuadrado del segundo, más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Ejemplo:
También el cubo del binomio se presenta en cubo de su diferencia lo que cambiara sera solo el signo de suma por resta.


Ejemplo:

• Suma por su diferencia: Es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos monomios.

Ejemplo:

• Monomio por monomio: El resultado va a ser otro monomio, se multiplican los coeficientes numericos y se suman sus partes literales siempre y cuando tengan la misma base.

Ejemplo:
Si hay distintas bases se resuelve de la siguiente manera

• Monomio por polinomio: Se multiplica el término que esta solo osea el monomio, por cada uno de los otros dos términos , tres términos o cuatro términos, ya sea por binomio, por trinomio o por polinomio.

Ejemplo:

• Binomio por binomio:Cada uno de los dos términos en el primer binomio se multiplica por cada uno de los dos términos del segundo binomio.

Ejemplo:

• Suma de cubos: En una suma de cubos perfectos donde primero se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio, Se forma un producto de dos factores donde los factores binomios son la suma de las raíces cúbicas de los términos del binomio y luego se resuelve el cuadrado de la primera raíz menos el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo:

• Resta de cubos: En una diferencia de cubos perfectos donde primero se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio, Se forma un producto de dos factores donde los factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio y luego se resuelve el cuadrado de la primera raíz más el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo:

 

Regla de los cuatro pasos (Fermat)



La derivada de una función también se puede obtener como el límite del cociente de incrementos, conocido como la regla de los cuatro pasos.
0 ( ) ( ) ´( ) x f x x f x f x lí x       
El procedimiento en este caso consiste en los pasos siguientes:
1. Se da un incremento, a la variable independiente x x 

2. Se obtiene el incremento correspondiente a la función () () f x xf x

3. Se obtiene el cociente de los incrementos () () f x xf xx    

4. Se calcula el límite del cociente de incrementos 0 ( ) ( ) x f x x f x lí x      

y esto proporciona la derivada de () f x



En la aplicación de esta regla, además de las operaciones de factorización que ya recordamos, será necesario utilizar el desarrollo de binomios como:
2 2 2 3 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 ( ) 2 ( ) 3 3 ( ) 4 6 4 ,etc a b a ab b a b a a b ab b a b a a b a b ab b               
Y también recordar cómo racionalizar el numerador o denominador de una fracción.

Veamos otros ejemplos para obtener la derivada de una función, aplicando esta definición de la regla de los cuatro pasos.
 

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a.f)(x) = a.f(x)

Ejercicio: operaciones con funciones

Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4.
Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

- la función f + g se define como
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2 x - 4 = 5 x - 3.
- (f + g)(2) = 5 · 2 - 3 = 7
(f + g)(-3) = 5(-3) - 3 = -18
(f + g)(1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2
Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.
Por ejemplo, para la imagen del 2,

f(2) = 3.2 + 1 = 7	(f + g)(2) = 7 + 0 = 7
g(2) = 2.2 - 4 = 0

Dadas las funciones f (x) = x² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).
Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

- (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x² - 3 - (x + 3) = x² - 3 - x - 3 = x² - x - 6
- (f - g)(1/3) = (1/3)² - 1/3 - 6 = - 56/9
- (f - g)(-2) = (-2)² - (-2) - 6 = - 0
- (f - g)(0) = (0)² - 0 - 6 = - 6
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.
3) Dadas las funciones f(x) = x/2 - 3 y g(x) = 2.x + 1, definir la función f.g.
Resolución:
- (f.g)(x) = f(x).g(x) = (x/2 - 3).(2.x + 1) = x² - 11.x/2 - 3
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.
Dadas las funciones f(x) = - x - 1, y g(x) = 2 x + 3, definir f/g.
Calcular las imágenes de los números - 1, 2 y 3/2 mediante f/g.

Resolución:

(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (-x - 1)/(2.x + 3)
La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.
(f/g)(-1) = 0/1 = 0
(f/g)(2) = -3/7
(f/g)(3/2) = (-5/2)/6 = -5/12
Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.
5) Dada la función f(x) = x² + x - 2, calcular 3.f y f/3.
Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.

Resolución:

- (3.f)(x) = 3.f(x) = 3.(x² + x - 2) = 3.x² + 3.x - 6
(1/3).f(x) = (1/3).(x² + x - 2)
- (3.f)(2) = 3.2² + 3.2 - 6 = 12
- (3.f)(1) = 3.1² + 3.1 - 6 = 0
- (3.f)(0) = 3.0² + 3.0 - 6 = - 6

COMPOSICION DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las
funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f)(x) = g[ f(x)].
La función (g o f)(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

ℜ

f —>

ℜ

g —>

ℜ

x → f(x) → g.[f(x)]
Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:
1- Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).
2- Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Ejercicio: composición de funciones

Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x².
Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

Resolución:

- (g o f)(x) = g.[f(x)] = g.[(x + 3)] = (x + 3)²

ℜ

f —>

ℜ

g —>

ℜ

x → f(x) = x + 3 → g.[f(x)] = g.(x + 3) = (x + 3)²
- la imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:
(g o f)(1) = g.[f(1)] = g.(1 + 3) = g.(4) = 4² = 16
(g o f)(0) = g.[f(0)] = g.(0 + 3) = g.(3) = 3² = 9
(g o f)(-3) = g.[f(-3)] = g.(-3 + 3) = g.(0) = 0² = 0
Dadas las funciones f(x) = x² + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:
a) (g o f) (x)
b) (f o g) (x)
c) (g o f) (1) y (f o g) (-1)
d) El original de 49 para la función g o f.

Resolución:

a) la función g o f está definida por:

ℜ

f —>

ℜ

g —>

ℜ

x → f(x) = x² + 1 → g.[f(x)] = g.(x² + 1) = 3.(x² + 1) - 2 = 3.x² + 3 - 2 = 3.x² + 1
b) la función f o g está definida por:

ℜ

g —>

ℜ

f —>

ℜ

x → g(x) = 3.x - 2 → f.[g(x)] = (3.x - 2)² + 1 = 9.x² + 4 - 12.x + 1 = 9.x² - 12.x + 5
Obsérvese que g o f ≠ f o g.
c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:
(g o f)(1) = 9.1² - 12.1 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2
(g o f)(-1) = 9.(-1)² - 12.(-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26
d) El original de 49 para la función g o f será un número x, tal que (g o f)(x) = 49.
(g o f) (x) = 3 x² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.
3.x² + 1 = 49 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4