EJERCICIOS DE PRIMITIVA EN UNA FUNCIÓN (ejemplos)

REPORTE ESCRITO

TEMAS

 

Calcular la derivada de una integral

Estudio del crecimiento y decrecimiento de una función definida mediante una integral. Como sabemos, el crecimiento y decrecimiento de una función derivable en un intervalo puede conocerse mediante el estudio del signo de la primera derivada en dicho intervalo, por lo que si nuestra función está definida mediante una integral tendremos que derivarla para ver dónde crece y dónde decrece.

Ø  Derivada de una integral I: El TFC

El resultado que nos permite derivar una función definida mediante una integral y nos dice cuánto vale dicha derivada es el teorema fundamental del cálculo (TFC). El primero que publicó una demostración relacionada con el TFC fue James Gregory, aunque lo que demostró fue una versión restringida de este resultado. Fue Isaac Barrow el primer que demostró este teorema. Isaac Newton terminó el trabajo con el desarrollo de la teoría matemática subyacente.

¿Qué dice el TFC? Pues muy sencillo: básicamente dice que la derivación y la integración son procesos inversos. Pero además nos da una manera de calcular integrales definidas.

El TFC se suele dividir en dos resultados distintos: el primer TFC y el segundo TFC. Sin entrar en algunos detalles.

·         Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Dada una función,

1. La función es continua.

2. Si además es una función continúa, entonces es derivable, y:

          

Obviando los detalles sobre dónde es continua y/o derivable cada una de las funciones que aparecen en el enunciado, se ve que este TFC1 dice que si tengo una función continua, entonces su integral se puede derivar, y además esa derivada da como resultado la propia.

·         Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Si es una función continúa y es una función tal que, entonces:

                        

Es decir, el TFC2 nos da una manera de calcular la integral de una función en un intervalo: calculamos (lo que se denomina una primitiva de) y restamos los valores de en los extremos del intervalo.

Este teorema, con sus dos apartados, es muy importante y muy útil, sobre todo teniendo en cuenta la gran cantidad de aplicaciones que tienen las integrales.

 La situación no es exactamente igual, ya que los límites de integración no son de la misma naturaleza que los que aparecen en el TFC1. Por ello, para calcular necesitamos  una generalización del TFC1, que combina este resultado con la regla de la cadena (que se utiliza para derivar de forma sencilla una composición de funciones).

·         Generalización del TFC1

Si la función está definida mediante la siguiente integral

                               

Esta generalización del TFC1 es muy útil a la hora de manejar funciones definidas mediante integrales cuyos límites de integración son funciones con cierta complejidad.

Ø  Derivada de una integral II: La fórmula de Leibniz

 Dada una función definida mediante una integral, ¿qué ocurre si la función que aparece dentro de la integral depende? Es decir, si nuestra tiene esta forma:

Donde la función depende de (que es la variable de) además de depender de

·         Fórmula de Leibniz 

Dada la función:

Podemos calcular su derivada utilizando la siguiente fórmula:

La fórmula de Leibniz es la generalización del TFC1 junto a un término más, que es la integral de la derivada parcial de respecto de.

INTRODUCCION

Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original

EJEMPLO:

y=3x”+2x+18

dy /dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

CONCEPTOS

TEOREMA:

Un teorema es una fórmula bien formada que puede ser demostrada dentro de un sistema formal, partiendo de axiomas u otros teoremas. 

Generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o a claradas. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión

PRIMITIVA

Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original

EJEMPLO:

y=3x”+2x+18

dy /dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

 

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral

DIFERENCIAL:

El diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. Existen diversas definiciones de diferencial en diversos contextos.

Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x.

Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero.

Se define  a la diferencial de y como dy, dado por  dy=f '(x) dx.

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el productof'(x) · h.

La diferencial de una función se representa por dy.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

ANTIDERIVADA

 

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observa que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra anti derivada de f(x).

La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

La notación que emplearemos para referirnos a una anti derivada es la siguiente:

INTEGRANDO:

 Función de la que se calcula su integral.

DERIVADA INDEFINIDA

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F₁ y F₂ son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F₁ = F₂ + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

 

   
 
  

Entonses al proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

MÁXIMO Y MÍNIMO RELATIVO:

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08     b = -3.08

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

referencias bibliograficas

• http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funoper.htm
•  
• http://yachay.stormpages.com/04ent/e4p.htm
 
• https://www.youtube.com/watch?v=uqf6SeCpy0Y 
•  
• https://www.youtube.com/watch?v=jGPG6mGrGQg
• https://www.youtube.com/watch?v=c0kgx3MGejM
•  

  https://www.youtube.com/watch?v=yU6YSvUXStU
•  
  

   https://www.youtube.com/watch?v=93lm3ZK65Mw

CONCEPTOS

  Derivada

 función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Sus creadores Newton y Leibniz con diferentes objetivos de investigación y aplicación

 FACTORIZACIÓN:

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

MULTIPLICACION

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos 3x5=15. En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos 15=3x5

Al factorizar el número 20, tendremos 20=4x5 o 20=2x10.

Advierte que 20=4x5 y 20=2x10 no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera factorización 4=(2x2) , de modo que 20=(2x2)x5 mientras que la segunda factorización 10=(2x5) , de modo que 20=(2x5)x2 , en cualquier caso la factorización completa para 20 es 2x2x5.

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera no factorizamos 20 como:

Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas.

Consiste en aplicar la propiedad distributiva:

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Ejemplos

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces

1. x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = −1

2. 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3. x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x = a y x = b.

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces

1. x2 − 4 = (x + 2) · (x − 2)

Las raíces son x = −2 y x = 2

2. x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) =

= (x + 2) · (x − 2) · (x2 + 4)

Las raíces son x = −2 y x = 2