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Calcular la derivada de una integral

Estudio del crecimiento y decrecimiento de una función definida mediante una integral. Como sabemos, el crecimiento y decrecimiento de una función derivable en un intervalo puede conocerse mediante el estudio del signo de la primera derivada en dicho intervalo, por lo que si nuestra función está definida mediante una integral tendremos que derivarla para ver dónde crece y dónde decrece.

Ø  Derivada de una integral I: El TFC

El resultado que nos permite derivar una función definida mediante una integral y nos dice cuánto vale dicha derivada es el teorema fundamental del cálculo (TFC). El primero que publicó una demostración relacionada con el TFC fue James Gregory, aunque lo que demostró fue una versión restringida de este resultado. Fue Isaac Barrow el primer que demostró este teorema. Isaac Newton terminó el trabajo con el desarrollo de la teoría matemática subyacente.

¿Qué dice el TFC? Pues muy sencillo: básicamente dice que la derivación y la integración son procesos inversos. Pero además nos da una manera de calcular integrales definidas.

El TFC se suele dividir en dos resultados distintos: el primer TFC y el segundo TFC. Sin entrar en algunos detalles.

·         Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Dada una función,

1. La función es continua.

2. Si además es una función continúa, entonces es derivable, y:

          

Obviando los detalles sobre dónde es continua y/o derivable cada una de las funciones que aparecen en el enunciado, se ve que este TFC1 dice que si tengo una función continua, entonces su integral se puede derivar, y además esa derivada da como resultado la propia.

·         Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Si es una función continúa y es una función tal que, entonces:

                        

Es decir, el TFC2 nos da una manera de calcular la integral de una función en un intervalo: calculamos (lo que se denomina una primitiva de) y restamos los valores de en los extremos del intervalo.

Este teorema, con sus dos apartados, es muy importante y muy útil, sobre todo teniendo en cuenta la gran cantidad de aplicaciones que tienen las integrales.

 La situación no es exactamente igual, ya que los límites de integración no son de la misma naturaleza que los que aparecen en el TFC1. Por ello, para calcular necesitamos  una generalización del TFC1, que combina este resultado con la regla de la cadena (que se utiliza para derivar de forma sencilla una composición de funciones).

·         Generalización del TFC1

Si la función está definida mediante la siguiente integral

                               

Esta generalización del TFC1 es muy útil a la hora de manejar funciones definidas mediante integrales cuyos límites de integración son funciones con cierta complejidad.

Ø  Derivada de una integral II: La fórmula de Leibniz

 Dada una función definida mediante una integral, ¿qué ocurre si la función que aparece dentro de la integral depende? Es decir, si nuestra tiene esta forma:

Donde la función depende de (que es la variable de) además de depender de

·         Fórmula de Leibniz 

Dada la función:

Podemos calcular su derivada utilizando la siguiente fórmula:

La fórmula de Leibniz es la generalización del TFC1 junto a un término más, que es la integral de la derivada parcial de respecto de.